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炉けーのブログ
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主に高校物理・高校化学の理解を手助けするための記事を投稿します

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【高校物理】単振動【単振動】

\(\require{color}\)

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この記事では単振動を扱っています。

単振動は、等速円運動の正射影となります。

単振動に関する運動方程式の解き方や、一般解、単振動のエネルギーについても解説しています。

また、水平ばね振り子や鉛直ばね振り子の紹介もしています。

鉛直ばね振り子では、つりあいの位置を原点にしたものと、自然長の位置を原点にしたものの2通りをみています。

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目次

1.単振動とは

\(\textcolor{red}{\bf{単振動}}\)とは、



①等速円運動の正射影と同じ運動であり


②運動方程式が

 \(ma=-k(x-x_0)\)

 の形


のものとなります。


上記の①、②についてみていきます。

円運動についてはこちら
円運動と慣性力

\(\underline{\bf{①等速円運動の正射影}}\)


次のように、半径(A)の円周上を①→②→③→④→①と移動する物体を考えます。

この物体をある一方向からみたものが正射影となります。

真横からの正射影

真横からみているので、奥行き方向(図中での左右方向)の動きは分からず、上下方向の動きのみをみています。

この上下方向の動きと、時間の関係を表したグラフが図中右側のグラフとなっています。

これは、三角関数のグラフと同じ形になっています。

※三角関数のグラフについてはこちら
 →三角関数のグラフ

また、上記では真横からみましたが、真上からみると次のようになります。

真上からの正射影

こちらに関しても真上から見ているので、みている人からは図中の上下方向の動きはわからず、左右方向の動きしかわかりません。

左右方向の動きと、時間の関係を表したグラフが図中の下のグラフになります。

上記の円の半径\(A[m]\)を\(\textcolor{red}{\bf{振幅}}\)といいます。

振幅は、振動中心からの変位の最大値となります。

(振動中心から最も離れたとき、中心からの距離が\(A[m]\)となる)


また、単振動は等速円運動の正射影と同じ運動であるといいましたが、用いる量もだいたいおなじとなります。

ただし、名称が多少変わっているものもあります。



・角振動数:\(\omega[rad/s]\)

 (等速円運動では、角速度と呼んでいた)

 こちらも、扱いは変わらず単位時間あたりに進む角度を表しています。

 \(t\)秒間で進む角度は等速円運動のときと同様に\(\omega{t}[rad]\)となります。



・位相:\(\omega{t}[rad]\) 

 こちらは、等速円運動においては時刻\(t\)のときの回転角を表していました。

 単振動では、時刻\(t\)における物体の状態を表します。



・周期:\(T[s]\)

 単振動における周期\(T[s]\)は、物体が一回往復する時間となります。

 (等速円運動とおなじく、\(T[s/(回)]\)と考えると良い)

 また、こちらも等速円運動における回転数と同様に、逆数は1秒間に何回振動するかを表し、これを”振動数\(f[Hz]\)”といいます。

 (\(Hz=/s , f[(回)/s]\)と考えるとよい)


 \(\displaystyle{f[Hz]=\frac{1}{T[s]}}\)


 \(\displaystyle{\left(f[(回)/s]=\frac{1}{T[s/(回)]}\right)}\)


 また、


 \(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&T=\frac{2\pi}{\omega}\\\\{\Leftrightarrow}&&\omega=\frac{2\pi}{T}\end{eqnarray}}\)


 となります。

 上記の周期と振動数の関係を用いると


 \(\displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}=2{\pi}f}\)


 と表すこともできます。

※周期について


後ほど詳しく説明しますが…


上記の真横からみた正射影について、回転する円を次のように設定します。

単振動周期

上向きの軸を\(x\)としたので、これは\(x\)軸への投射となります。

真横からみている人には、図中の左右方向の情報はわからないので、上下方向の情報のみがわかることになります。

よって、上下方向の変位のみを考えると、現在角度\(\omega{t}\)、半径\(A\)なので三角関数から上向きのベクトルは


\(+A\sin\omega{t}\)


となります。

これが、正射影されたグラフの\(x\)座標となるので、\(x=A\sin\omega{t}\)となります。


ここで、周期について考えてみます。

“1周まわる時間=周期\(T[s]\)”


なので、\(\displaystyle{\frac{1}{4}}\)回転なら\(\displaystyle{\frac{T}{4}[s]}\)となります。


よって、正射影のグラフで区間ごとに区切って載せていたのは、\(\displaystyle{\frac{1}{4}}\)回転ごとの区間となります。



また、先ほどみたように真横から見た振動の式は


\(x=A\sin\omega{t} \cdots①\)


先ほど説明したように、\(A\)を”振幅”といいます。

\(①\)式を変形すると


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}x&=&A\sin\omega{t}\\\\&=&\sin\frac{2\pi}{\textcolor{blue}{\frac{2\pi}{\omega}}}t\end{eqnarray}}\)


となり、\(2\pi{t}\)の分母が周期となるので、


\(\displaystyle{x=\sin2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{T}}}\)


となり、周期は


\(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}}\)


となることがわかります。



周期については、こちらも参考にしてください
三角関数の定義と関係式
三角関数のグラフ

\(\underline{\bf{②単振動と運動方程式}}\)


単振動とは、運動方程式が


\(ma=-k(x-x_0)\)


の形になるものをいいます。



上式の形において、


“Kは正の値で”

“\(x_0\)は振動中心”

“\(-k(x-x_0)\)の部分を復元力”


と呼びます。

単振動の運動方程式

また、等速円運動の正射影や周期に関する話でみたように、真横からみて\(x\)軸へ投射された単振動の式は


\(\textcolor{red}{x=A\sin\omega{t}}\)


と表せます。

x軸への正射影
上下方向の変位

これを、時間\(t\)で微分したものが、速度\(v\)となります。



微分については、円運動で扱ったものとおなじようにします。
円運動と慣性力
微分法とその応用



実際に微分すると


\(\displaystyle{\textcolor{red}{v=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos\omega{t}}}\)


さらに時間\(t\)で微分すると加速度となります。


\(\displaystyle{\textcolor{blue}{a=\frac{dv}{dt}=-A{\omega}^2\sin\omega{t}}}\)


ここで、\(\textcolor{green}{x=A\sin\omega{t}}\)なので、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&-{\omega}^2\textcolor{green}{A\sin\omega{t}}\\\\{\Leftrightarrow}a&=&-{\omega}^2\textcolor{green}{x}\end{eqnarray}}\)


となります。

単振動速度加速度

上記では微分を用いて、変位の式から速度と加速度の式を導きましたが、速度、加速度を真横から見る人から考えることもできます。

等速円運動の部分で扱ったように、速度は大きさ\(r\omega\)で接線方向になります。

真横から見るひとには、この速度の上下方向の情報しかわからないので、下図のようになります。

単振動速度

図中の赤いベクトルである\(\textcolor{red}{A\omega\cos\omega{t}}\)が、真横の人がみる速度ベクトル、すなわち単振動における速度となります。


図中に記した点\(O,H,P,Q,R\)について


\(Q\)
→円運動における速度ベクトルの終点


\(P\)
→円運動する物体の時刻\(t\)における位置


\(R\)
→円運動における速度ベクトルの上下方向成分の終点




\(\angle{PHO}=90°\)なので、\(\angle{OPH}=90°-\omega{t}\)


また、\(PQ\)は点Pにおける円の接線なので


\(\angle{OPQ}=90°\)


また、


\(\angle{OPH}+\angle{OPQ}+\angle{QPR}=180°\)


以上から、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\angle{OPH}+\angle{OPQ}+\angle{QPR}=180°\\\\{\Leftrightarrow}&&(90°-\omega{t})+90°+\angle{QPR}=180°\\\\{\Leftrightarrow}&&\angle{QPR}=\omega{t}\end{eqnarray}}\)


となります。

これと、三角関数から円運動における速度の上下方向成分は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\overrightarrow{PR}&=&|\overrightarrow{PQ}|\cos\omega{t}\\\\&=&A\omega\cos\omega{t}\end{eqnarray}}\)


となります。

加速度については、下図のように考えます。

単振動加速度

図中の青いベクトルである\(\textcolor{blue}{-A{\omega}^2\sin\omega{t}}\)が、真横の人がみる加速度ベクトル、すなわち単振動における加速度となります。


図中に記した点\(O,H,P,Q,R\)について


\(Q\)
→円運動における加速度ベクトルの終点


\(P\)
→円運動する物体の時刻(t)における位置


\(R\)
→円運動における加速度ベクトルの上下方向成分の終点




\(\overrightarrow{PQ}\)を上下左右方向に分解した上下方向のベクトルが\(\overrightarrow{PR}\)となります。


\(PR\)と\(QR\)は直角なので、


\(QR//OH\)


となります。

また、斜辺である\(OP\)は共通なので


\(\angle{POH}=\angle{PQR}=\omega{t}\)


これと、三角関数から円運動における加速度の上下方向成分は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\overrightarrow{PR}=-|\overrightarrow{PQ}|\sin\omega{t}\\\\=-A{\omega}^2\sin\omega{t}\end{eqnarray}}\)


となります。

(いま上向き正で、速度の上下方向の成分は下向きなのでマイナスがつく)

以上のことから分かることは、


①運動方程式を変形して、

 \(a=-□(x-x_0)\)

 の\(□\)は\({\omega}^2\)を表す。





\(\displaystyle{a=-{\omega}^2x {\Leftrightarrow} ma=\textcolor{blue}{-m{\omega}^2x}}\)


上式の\(\textcolor{blue}{-m{\omega}^2x}\)部分を\(\textcolor{blue}{\bf{復元力}}\)と呼ぶ

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2.単振動の運動方程式の解き方

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}ma=-k(x-x_0)\\\\{\Leftrightarrow}a=-\textcolor{red}{\frac{k}{m}}(x-x_0)\end{eqnarray}}\)


上式の変位\(x\)の係数である\(\displaystyle{\textcolor{red}{\frac{k}{m}}}\)が、角振動数\(\omega\)の情報を与えます。

(\(a=-{\omega}^2x\)から)


これより、


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


となります。
(高校物理においては、角振動数は正として扱ってよい)


このとき、


\(\displaystyle{a=-\frac{k}{m}(\textcolor{green}{x-x_0})}\)


の\((\textcolor{green}{x-x_0})\)をそのまま左辺にもってきて


\(\displaystyle{\textcolor{green}{x-x_0}=±A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}\)


または


\(\displaystyle{\textcolor{green}{x-x_0}=±B\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}\)


となります。

上式の\(±\sin\)や\(±\cos\)のうちのどの形をとるかは、問題で判断します。

単振動の運動方程式解き方

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3.単振動の一般解

単振動の一般解には、三角関数の合成式


\(\displaystyle{A\cos\theta+B\sin\theta=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta+\alpha)}\)


を用います。



合成式についてはこちら
三角関数の公式



\(\theta\)を\(\omega{t}\)とすると、


\(\displaystyle{A\cos\omega{t}+B\sin\omega{t}=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\omega{t}+\alpha)}\)


となります。

ここで、




\(\displaystyle{\sqrt{A^2+B^2}}\)で振幅が


\(\displaystyle{\omega}\)は\(\displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}}\)によって周期が


\(\alpha\)によって、\(t\)軸方向にどれだけ平行移動しているか




がそれぞれ決まるので、


\(\displaystyle{\sqrt{A^2+B^2}\sin(\omega{t}+\alpha)}\)


はどのような波の式(単振動の式)も表すことができます。

すなわち、


\(\displaystyle{A\cos\omega{t}+B\sin\omega{t}}\)


もどのような波(単振動)の式も表すことができます。


これによって、


\(\displaystyle{x-x_0=A\cos\omega{t}+B\sin\omega{t}}\)


において、定数\(A , B\)が決まれば、単振動による物体の位置が表せることになります。

また、位置の式


\(\displaystyle{x-x_0=A\cos\omega{t}+B\sin\omega{t}}\)


を時間\(t\)で微分すると速度\(v\)が、速度\(v\)の式を時間\(t\)で微分すると加速度\(a\)が求まります。

これらを用いて、初期条件(\(t=0\)のときの条件)から定数\(A , B\)を定めることで、物体の位置・速度・加速度の情報を得ることができます。




したがって、単振動する物体の位置を表す式の一般解は次のようになります。


\(\textcolor{green}{\underline{\bf{単振動する物体の位置を表す一般解}}}\)


\(\displaystyle{\textcolor{green}{x-x_0=A\cos\omega{t}+B\sin\omega{t}}}\)

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4.運動方程式解き方練習

例)

図のようにばねにつながれた質量\(m\)の物体を、自然長から\(A\)だけ伸ばした状態で静かに放すことを考える。

(ばね定数は\(k\)、床はなめらかとする)

単振動の運動方程式例

途中での\(x\)方向に関する運動方程式は、

(途中での物体の位置を\(x\)とする)


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=-kx\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}x\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}(x-0)\end{eqnarray}}\)


※よくあるミス
\(× ma=-kA\)
\(× ma=kx\)


よって、


\(\displaystyle{{\omega}^2=\frac{k}{m}}\)


から、


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


振動中心は\(x=0\)





\(\displaystyle{\textcolor{red}{a=-\frac{k}{m}(x-x_0)}}\)


において、振動中心は\(x_0\)

今回は、\(x_0=0\)なので、振動中心は\(x=0\)の位置となる



物体は、はじめ\(A\)の位置にいて、そこから負の方向へ動き出し、\(x=0\)を振動中心として振動する。

よって、下図のように\(①→②→③→④→①\)のように動きます。

単振動の形

グラフの形は、はじめ正の位置にいて、そこから\(0\)→負→\(0\)→正のように動いていきます。

なので、これは\(\textcolor{red}{+\cos}\)形となります。


また振幅は、振動中心からの最も離れるときの距離なので


\(\textcolor{red}{\bf{振幅=|最初の位置-振動中心|}}\)


となり、今回は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}{\bf{振幅}}&=&{\bf{|最初の位置-振動中心|}}\\\\&=&|A-0|\\\\&=&A\end{eqnarray}}\)


となります。




以上から、物体の変位の式は運動方程式の解き方で解説したように、\(x-0\)をそのままもってきて


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}x-0&=&A\cos\omega{t}\\\\&=&A\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t\\\\&=&A\cos2\pi\frac{t}{\textcolor{green}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\end{eqnarray}}\)


上式における\(2\pi{t}\)の分母が周期となるので、周期\(T\)は


\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\)




変位の式は


\(\displaystyle{x=A\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t}\)


速度の式を求めるために、変位の式を時間\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&\frac{dx}{dt}\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t\end{eqnarray}}\)


これは、\(-\sin\)形となります。

さらに、加速度の式を求めるために、速度の式を時間\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&\frac{dv}{dt}\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t\end{eqnarray}}\)


これは、\(-\cos\)形となります。




次に求めた変位・速度・加速度の関係をグラフで表すと、下図のようになります。

(変位・速度・加速度それぞれの最大値の大小関係は適当)

単振動例グラフ

\(\underline{\bf{※一般解を用いると}}\)


運動方程式を立てて、振動中心\(x=0\)および、角振動数\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)までは求めているとします。


単振動の変位の式の一般解から、

(例題で最初の伸びに\(A\)が使われているので、一般解において\(A\)を\(A’\)とした)


\(\displaystyle{x=A’\cos\omega{t}+B’\sin\omega{t} \cdots①}\)


\(t\)で微分して


\(\displaystyle{v=-A’\omega\sin\omega{t}+B’\omega\cos\omega{t} \cdots②}\)


さらに\(t\)で微分して


\(\displaystyle{a=-A'{\omega}^2\cos\omega{t}-B'{\omega}^2\sin\omega{t} \cdots③}\)


初期条件(\(t=0\)のときの条件)は、


\(t=0\)のとき、\(x=A\)、\(v=0\)


なので、これらを\(①、②\)に代入すると、




\(①\)から


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&A=A’\cos0+B’\sin0\\\\{\Leftrightarrow}&&A=A’\end{eqnarray}}\)


(\(\cos0=1 , \sin0=0\))



\(②\)から


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&0=-A’\omega\sin0+B’\omega\cos0\\\\{\Leftrightarrow}&&B’=0\end{eqnarray}}\)


以上から、\(A’=A , B’=0\)を\(①,②,③\)にそれぞれ代入すると




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}x&=&A\cos\omega{t}\\\\&=&A\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t\end{eqnarray}}\)




\(\displaystyle{ \begin{eqnarray} v&=&-A\omega\sin\omega{t}\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t \end{eqnarray} }\)




\(\displaystyle{ \begin{eqnarray} a&=&-A{\omega}^2\cos\omega{t}\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t \end{eqnarray} }\)




と、先ほどみた式と同じ式がでてきます。

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5.水平ばね振り子

先ほどみた例と同じとなりますが…

なめらかな水平面上に、一端を固定したばね(ばね定数\(k\))の多端に質量\(m\)のおもりをつなぎます。

下図のような状態で、ばねを\(A\)だけ引き伸ばし、静かに手を離したときのおもりの運動をみてみます。

(自然長の位置を原点とする)

上記の、”ばねを\(A\)だけ引き伸ばし、静かに手を離す”という部分が初期条件(\(t=0\)のときの条件)となります。

水平ばね振り子

\(x\)軸方向の運動方程式は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=-kx\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}x\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}(\textcolor{green}{x}-\textcolor{red}{0})\end{eqnarray}}\)


よって、


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


また、\((\textcolor{green}{x}-\textcolor{red}{0})\)から、


振動中心は原点で、振幅は

\(|A-0|=A\)


であることがわかります。

振幅と振動中心

以上から、グラフが\(+\cos\)形であることに注意して、変形した運動方程式の\(\textcolor{green}{x}\)をそのまま左辺にもってきて、変位の式を立てると


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\textcolor{green}{x}&=&\textcolor{red}{A\cos}\omega{t}\\\\&=&A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\&=&A\cos\left(2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\right)\end{eqnarray}}\)


上式の、


\(\displaystyle{\textcolor{red}{+A\cos}}\)


は問題から読み取る情報となります。

また、\(2\pi{t}\)の分母が周期\(T\)となることから


\(\displaystyle{\textcolor{blue}{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\)


となります。

上記変位の式を\(t\)で微分して、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&-A\omega\sin\omega{t}\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\left(2\pi\frac{t}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\right)\end{eqnarray}}\)


速度の式をさらに\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&-A{\omega}^2\cos\omega{t}\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\left(2\pi\frac{t}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\right)\end{eqnarray}}\)


以上から、\(x,v,a\)の関係グラフは下図のようになります。

(例で扱ったものとおなじ)

単振動例グラフ

一般解を用いても同様にして


\(\displaystyle{x=A’\cos\omega{t}+B’\sin\omega{t}}\)




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&\frac{dx}{dt}\\\\&=&-A’\omega\sin\omega{t}+B’\omega\cos\omega{t}\end{eqnarray}}\)




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&\frac{dv}{dt}\\\\&=&-A'{\omega}^2\cos\omega{t}-B'{\omega}^2\sin\omega{t}\end{eqnarray}}\)


初期条件\(t=0\)のとき、\(x=A , v=0\)を上式に代入して


\(A’=A , B’=0\)


と決まります。

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6.鉛直ばね振り子

ばね定数\(k\)のばねを天井からつるし、他端に質量\(m\)のおもりを静かにつるすと、伸びが\(x_0\)になって静止したとする。

静止した位置からおもりをさらに\(A\)だけ引いて静かに離すことを考える。

(軸は鉛直下向き)


状況を図示すると、下図のようになります。

鉛直ばね振り子

“\(\textcolor{red}{\bf{つりあいの位置}}\)を原点”としています。


まず、つりあっているときに関してですが、上下方向のつりあいより


\(kx_0=mg\)


次に途中の物体の位置を\(x\)とすると運動方程式は、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=mg-k(x+x_0)\\\\{\Leftrightarrow}&&ma=mg-kx-kx_0\end{eqnarray}}\)


途中での自然長からの伸びは\(x\)ではなく、\(x+x_0\)であることに注意してください。


また、つりあいの式 \(kx_0=mg\) から、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=mg-kx-kx_0\\\\{\Leftrightarrow}&&ma=\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{mg}}}-kx-\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{black}{mg}}}\\\\{\Leftrightarrow}&&ma=-kx\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}x\end{eqnarray}}\)


より、


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


となります。

また、つりあいの位置を原点にしたことで、運動方程式がきれいな形になっていることを確認してください。



振動の形は、\(t=0\)で\(x=A\gt0\)。

そこから、\(x\)の負の方向へと運動するので\(+\cos\)形となります。

(\(+\cos\)のグラフも正→0→負→0→正と変化していく)


また、振動中心は\(x=0\)、振幅は


\(|A-0|=A\)


よって、変位の式は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}x&=&A\cos\omega{t}\\\\&=&A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\&=&A\cos\left(2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\right)\end{eqnarray}}\)


周期\(T\)は、\(2\pi{t}\)の分母なので


\(\displaystyle{\textcolor{blue}{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\)




変位の式を、\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&-A\omega\sin\omega{t}\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\left(2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\right)\end{eqnarray}}\)


速度の式をさらに\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&-A{\omega}^2\cos\omega{t}\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\left(2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\right)\end{eqnarray}}\)


以上から、\(x,v,a\)の関係グラフは下図のようになります。

単振動例グラフ

一般解を用いると、

初期条件\(t=0\)で\(x=A , v=0\)から定数\(A , B\)が決まります。

初期条件と角振動数が同じなので、水平ばね振り子と同じ式になります。

\(\underline{\bf{<類題>}}\)


先ほどの鉛直ばね振り子において、自然長を原点とするとどうなるのか?


状況は下図のようになります。

鉛直ばね振り子自然長原点

つりあい位置での上下方向のつりあいより


\(kx_0=mg\)


はじめの位置は、つりあいの位置からさらに\(A\)だけ下げたところになるので、座標は\(x_0+A\)になることに注意してください。

また、今回は自然長の位置を原点にしているので、途中の位置\(x\)におけるばねの自然長からの伸びは\(x\)となり、弾性力は上向きに\(kx\)となります。

よって、途中の運動方程式は、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=mg-kx\\\\{\Leftrightarrow}&&ma=-k\left(x-\frac{mg}{k}\right)\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}\left(x-\textcolor{red}{\frac{mg}{k}}\right)\end{eqnarray}}\)


これより、角振動数は


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


振動中心は


\(\displaystyle{x=\frac{mg}{k}=x_0}\)


となります。

(つりあいの式\(kx_0=mg\)を式変形すると、\(\frac{mg}{k}=x_0\)となる)

振幅は、|はじめの位置-振動中心| から、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}|x_0+A-\frac{mg}{k}|&=&|x_0+A-x_0| (∵\frac{mg}{k}=x_0)\\\\&=&A\end{eqnarray}}\)


よって、この物体の運動は\(x=x_0=\frac{mg}{k}\)を振動中心として振幅\(A\)で振動することが分かります。


また、振動の形はつりあいの位置を原点にとったときと同様に\(+\cos\)形です。


よって、変位の式は


\(\displaystyle{x-\frac{mg}{k}}\)


をそのまま左辺にもってきて


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&x-\frac{mg}{k}=A\cos\omega{t}\\\\{\Leftrightarrow}&&x-\frac{mg}{k}=A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\\\\{\Leftrightarrow}&&x=A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+\frac{mg}{k}\\\\{\Leftrightarrow}&&x=A\cos\left(2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}\right)+\frac{mg}{k}\end{eqnarray}}\)


上式は、\(x=A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\)のグラフを、\(x\)軸方向に\(+\frac{mg}{k}\)平行移動したものとなります。



三角関数のグラフの平行移動についてはこちら
三角関数のグラフ



またこれまでと同様に、\(2\pi{t}\)の分母が周期なので、


\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\)


求めた変位の式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&-A\omega\sin\omega{t}\\\\&=&-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\end{eqnarray}}\)


速度の式をさらに\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&-A{\omega}^2\cos\omega{t}\\\\&=&-A\frac{k}{m}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\end{eqnarray}}\)


以上から、\(x,v,a\)の関係グラフは下図のようになります。

鉛直ばね振り子自然長原点グラフ

一般解を用いると、


\(\displaystyle{a=-\frac{k}{m}(x-\frac{mg}{k})}\)


から、


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


また、振動中心


\(\displaystyle{x=\frac{mg}{k}}\)


よって、


\(\displaystyle{x-\frac{mg}{k}=A’\cos\omega{t}+B’\sin\omega{t}}\)




変位の一般解の式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{v=-A’\omega\sin\omega{t}+B’\omega\cos\omega{t}}\)




速度の式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{a=-A'{\omega}^2\cos\omega{t}-B'{\omega}^2\sin\omega{t}}\)




初期条件\(t=0\)で\(x=x_0+A\)、\(v=0\)なので、まず変位の式に代入して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}x_0+A-\frac{mg}{k}=A’\cos0+B’\sin0\end{eqnarray}}\)




\(\displaystyle{x_0=\frac{mg}{k}}\)なので、




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&x_0+A-\frac{mg}{k}=A’\cos0+B’\sin0\\\\{\Leftrightarrow}&&\frac{mg}{k}+A-\frac{mg}{k}=A’×1+B’×0\\\\{\Leftrightarrow}&&A’=A\end{eqnarray}}\)




次に、速度の式に代入して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&0=-A’\omega\sin0+B’\omega\cos0\\\\{\Leftrightarrow}&&B’=0\end{eqnarray}}\)




\(A’=A , B’=0\)をそれぞれの式に戻すと、




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&x-\frac{mg}{k}=A\cos\omega{t}\\\\{\Leftrightarrow}&&x=A\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+\frac{mg}{k}\end{eqnarray}}\)




\(\displaystyle{v=-A\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\right)}\)




\(\displaystyle{a=-A\frac{k}{m}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\right)}\)


と、先ほどみた式と同じものになります。

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7.単振り子

糸の上端を固定して、下端におもりをつけ、おもりを\(\textcolor{red}{\bf{わずか}}\)に引いて静かに手を離す。

(糸の長さを\(l\)、おもりを\(A\)だけ引くとする)

下図のようにはじめと途中、また糸が鉛直になるときを考えます。

単振り子

途中の\(x\)座標を\(x\)、そのときの鉛直な方向と糸のなす角を\(\theta\)とします。

また、図ではおおげさに描いていますが、実際はわずかにしか引いていないので、おもりはほとんど\(x\)軸上を運動することになります。

以上から、おもりは\(x\)軸上を運動し、鉛直方向には静止する(つりあう)と考えて運動方程式とつりあいの式を立てると


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&{\bf{おもりをわずかに振る}}\\\\{\Leftrightarrow}&&{\bf{おもりはx軸からほとんど離れない}}\\\\{\Leftrightarrow}&&{\bf{おもりはx軸上で横方向に振動する}}\\\\{\Leftrightarrow}&&\left\{\begin{array}{l}T\cos\theta=mg {\bf{(上下のつりあい)}}\\\\ma=-T\sin\theta {\bf{水平方向の運動方程式}}\end{array}\right.\\\\{\Leftrightarrow}&&\left\{\begin{array}{l}T=\frac{mg}{\cos\theta}\\ma=-\frac{mg}{\cos\theta}×\sin\theta=-mg\tan\theta\end{array}\right.\end{eqnarray}}\)


よって、


\(\displaystyle{ma=-mg\tan\theta}\)

※ちなみに、\(\theta\)が非常に小さいとき、

\(\tan\theta≒\sin\theta≒\theta\)

と近似ができる。

三角関数近似

この近似を用いると以下のようになる。


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&  ma=-mg\tan\theta\\\\&&\left(\begin{array}{l}{\Leftrightarrow}ma≒-mg\tan\theta\\\\{\Leftrightarrow}a≒-g\tan\theta\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)

\(\tan\theta\)は下図のようになります。

単振り子運動方程式近似

これを用いて、さらに運動方程式を変形していくと、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=-mg\tan\theta\\\\{\Leftrightarrow}&&ma≒-mg\frac{x}{l}\\\\{\Leftrightarrow}&&a≒-\frac{g}{l}x\end{eqnarray}}\)


以上から、


角振動数:

\(\displaystyle{\omega=\frac{g}{l}}\)



振動中心:

\(x=0\)



振幅:

\(|A-0|=A\)



であることが分かります。

また、単振動の形は(正→0→負→0→正)のように変化していくので、\(+\cos\)形になります。


よって、変位の式は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}x&=&A\cos\omega{t}\\\\&=&A\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\\\\&=&A\cos\left(2\pi\frac{t}{\textcolor{blue}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}}\right)\end{eqnarray}}\)


これより、周期は\(T\)は\(2\pi{t}\)の分母なので、


\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}\)


となります。


また、変位の式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&-A\omega\sin\omega{t}\\\\&=&-A\sqrt{\frac{g}{l}}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\end{eqnarray}}\)


さらに速度の式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&-A{\omega}^2\cos\omega{t}\\\\&=&-A\frac{g}{l}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\end{eqnarray}}\)


以上から、\(x,v,a\)の関係グラフは以下のようになります。

単振り子グラフ

上記から、振り子の周期において\(2\pi\)と\(g\)は定数となります。

よって、単振り子の周期は振幅が小さければ振り子の長さ\(l\)だけで決まることになります。

このように、周期が振幅によらずに振り子の長さだけで決まることを、\(\textcolor{red}{\bf{振り子の等時性}}\)といいます。

一般解を用いると、


運動方程式から、


角振動数


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}}\)




振動中心


\(x=0\)




振幅


\(A\)




がわかります。


よって、一般解から


\(\displaystyle{x=A’\cos\omega{t}+B’\sin\omega{t}}\)




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&\frac{dx}{dt}\\\\&=&-A’\omega\sin\omega{t}+B’\omega\cos\omega{t}\end{eqnarray}}\)




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&\frac{dv}{dt}\\\\&=&-A'{\omega}^2\cos\omega{t}-B'{\omega}^2\sin\omega{t}\end{eqnarray}}\)




初期条件\(t=0\)のとき、\(x=A , v=0\)を上式に代入して


\(A’=A , B’=0\)


と決まります。

これを元に戻すと先ほどの同様の式


\(\displaystyle{x=A\cos\omega{t}}\)


\(\displaystyle{v=-A\omega\sin\omega{t}}\)


\(\displaystyle{a=-A{\omega}^2\cos\omega{t}}\)


が得られます。

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8.単振動のエネルギー

振動する物体の時間による位置が


\(\displaystyle{x=A\cos\omega{t}}\)


で表されているとします。






運動方程式は


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=-kx\\\\{\Leftrightarrow}&&a=-\frac{k}{m}x\end{eqnarray}}\)


より


\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)


このとき、


\(\displaystyle{x=A\cos\omega{t}}\)


上式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{v=-A\omega\sin\omega{t}}\)


速度の式を\(t\)で微分して


\(\displaystyle{a=-A{\omega}^2\cos\omega{t}}\)




ここで、


\(\displaystyle{\scriptsize{\begin{eqnarray}&&{\bf{単振動のエネルギー}}\\\\=&&{\bf{物体の運動エネルギー+ばねの弾性力による位置エネルギー}}\end{eqnarray}}}\)


となります。

ここから、


\(\underline{\bf{教科書的に…}}\)


単振動のエネルギー(エネルギーの和)は、物体の運動エネルギーとばねの弾性力による位置エネルギーの和なので、


\(\displaystyle{\scriptsize{\begin{eqnarray}&&{\bf{単振動のエネルギー}}\\\\=&&{\bf{物体の運動エネルギー+ばねの弾性力による位置エネルギー}}\\\\&&=\frac{1}{2}m\textcolor{red}{v}^2+\frac{1}{2}k\textcolor{red}{x}^2\end{eqnarray}}}\)


上式の形から、\(\textcolor{red}{v}\)と\(\textcolor{red}{x}\)に単振動の式を代入できます。


実際に代入すると


\(\displaystyle{\scriptsize{\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}m\textcolor{red}{v}^2+\frac{1}{2}k\textcolor{red}{x}^2\\\\=&&\frac{1}{2}m(\textcolor{red}{-A\omega\sin\omega{t}})^2+\frac{1}{2}k(\textcolor{red}{A\cos\omega{t}})^2\\\\=&&\frac{1}{2}mA^2{\omega}^2\sin^2\omega{t}+\frac{1}{2}kA^2\cos^2\omega{t}\\\\=&&\frac{1}{2}mA^2\frac{k}{m}\sin^2\omega{t}+\frac{1}{2}kA^2\cos^2\omega{t} \left(∵\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\right)\\\\=&&\frac{1}{2}kA^2\sin^2\omega{t}+\frac{1}{2}kA^2\cos^2\omega{t}\\\\=&&\frac{1}{2}kA^2(\sin^2\omega{t}+\cos^2\omega{t})\\\\=&&\frac{1}{2}kA^2 (一定)\end{eqnarray}}}\)


また、


\(\displaystyle{{\omega}^2=\frac{k}{m}{\Leftrightarrow}k=m{\omega}^2}\)


から、


\(\displaystyle{\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}(m{\omega}^2)A^2 (一定)}\)


また、


\(\displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi{f}}\)


を用いると、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{1}{2}\left\{m(2\pi{f})^2\right\}A^2\\\\=&&2m{\pi}^2f^2A^2 (一定)\end{eqnarray}}\)


以上から、単振動のエネルギーは時間に関係なく、一定になります。

\(\underline{\bf{大学的に…}}\)


\(\textcolor{green}{\bf{エネルギー積分}}\)


運動方程式の両辺に\(v\)を掛けて


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&ma=-kx\\\\{\Leftrightarrow}&&m\textcolor{red}{v}a=-kx\textcolor{red}{v}\end{eqnarray}}\)


ここで、速度と加速度の定義


\(\displaystyle{\textcolor{red}{v=\frac{dx}{dt} , a=\frac{dv}{dt}}}\)


から、運動方程式の変形を続けて


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&m\textcolor{red}{v}a=-kx\textcolor{red}{v}\\\\{\Leftrightarrow}&&mv\frac{dv}{dt}=-kx\frac{dx}{dt}\\\\{\Leftrightarrow}&&mv\frac{dv}{dt}+kx\frac{dx}{dt}=0\end{eqnarray}}\)


ここで、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\frac{1}{2}mv^2&=&\frac{dv}{dt}\frac{d}{dv}\frac{1}{2}mv^2\\\\&=&mv\frac{dv}{dt}\end{eqnarray}}\)




\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\frac{1}{2}kx^2&=&\frac{dx}{dt}\frac{d}{dx}\frac{1}{2}kx^2\\\\&=&kx\frac{dx}{dt}\end{eqnarray}}\)


から、


\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&mv\frac{dv}{dt}+kx\frac{dx}{dt}=0\\\\=&&\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2\right)=0\end{eqnarray}}\)


以上から、


\(\displaystyle{\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2}\)


は時間\(t\)で微分すると\(0\)になるので、定数となります。

すなわち、上式は時間によらずに一定になります。



エネルギー積分については、こちらの力学的エネルギー保存の法則も参考にしてください。
仕事とエネルギー

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