【高校物理】指数関数【高校数学】【指数】

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指数関数の基礎的な内容となるので、予習復習したい方向けです。
指数関数のことを分かっているよという方は、読み飛ばして頂いてかまいません。

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目次

• 1.指数法則
• 2.累乗根
• 3.有理数の指数
• 4.指数関数

1.指数法則

指数に関して成り立つ法則については、以下の3つとなります。



$m$ , $n$が正の整数のとき

$a^{\textcolor{red}{m}}×a^{\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{red}{m}+\textcolor{blue}{n}} \cdots①$

${(a^{\textcolor{red}{m}})}^{\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{red}{m}\textcolor{blue}{n}} \cdots②$

${(ab)}^{\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{blue}{n}}b^{\textcolor{blue}{n}} \cdots③$



以下に計算例を載せておきます。

例)
$\underline{\bf{①の例}}$

$2^3×2^4=2^{3+4}=2^7$



$\underline{\bf{②の例}}$

${(2^3)}^4=2^{3×4}=2^{12}$



$\underline{\bf{③の例}}$

$(2×5)^5=2^5×3^5$

指数が$0$のときや、負の整数の累乗は次のように定義します。

$a\neq0$ , $n$を正の整数とするとき、


$a^0=1 \cdots④$

$\displaystyle{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}\ \cdots⑤$


$⑤$について、特に

$\displaystyle{a^{-1}=\frac{1}{a}}$



以下に計算例を載せておきます。

例)
$\underline{\bf{④の例}}$

$2^0=1$

$3^0=1$

$4^0=1$



$\underline{\bf{⑤の例}}$

$\displaystyle{2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}}$

$\displaystyle{10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000}}$

以上のことから、一般に指数が整数の場合、次のことが成り立ちます。

$a\neq0$ , $b\neq0$で$\textcolor{red}{m}$ , $\textcolor{blue}{n}$を整数とすると、

$1.　a^{\textcolor{red}{m}}×a^{\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{red}{m}+\textcolor{blue}{n}}$

$2.　\displaystyle{\frac{a^{\textcolor{red}{m}}}{a^{\textcolor{blue}{n}}}=a^{\textcolor{red}{m}}×a^{-\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{red}{m}-\textcolor{blue}{n}}}$

$3.　{(a^{\textcolor{red}{m}})}^{\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{red}{m}\textcolor{blue}{n}}$

$4.　{(ab)}^{\textcolor{blue}{n}}=a^{\textcolor{blue}{n}}b^{\textcolor{blue}{n}}$

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2.累乗根

$n$を正の整数とするとき、$n$乗して$a$になる数を $a$の$n$乗根といいます。$(x^n=aの解がaのn乗根)$
また、$a$の$2$乗根、$3$乗根、$4$乗根$\cdots$を総称して$a$の累乗根といいます。


正の数$a$の$n$乗根のうち正であるものについて考えると、$y=x^n$のグラフの概形は以下のようになります。

また、$a\gt0$のとき

$\sqrt[\textcolor{blue}{n}] {a}\gt0$

$(\sqrt[\textcolor{blue}{n}] {a})^n=a$

$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a^n}=a$

となります。


グラフから、正の数$a$に対して、$x^{\textcolor{blue}{n}}=a$を満たす正の数$x$がただ1つあることがわかり、この正の数$x$を$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a}$で表します。

また、$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a}$の定義から、次の性質があります。


$a\gt0$ , $b\gt0$で$\textcolor{red}{m}$ , $\textcolor{blue}{n}$を正の整数とすると

$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a}\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{b}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{ab}\ \cdots①$

$\displaystyle{\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a}}{\sqrt[ \textcolor{blue}{n} ]{b}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\frac{a}{b}}} \cdots②$

$(\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a})^{\textcolor{red}{m}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a^{\textcolor{red}{m}}} \cdots③$

$\displaystyle{\sqrt[\textcolor{red}{m}]{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a}}=\sqrt[\textcolor{red}{m}\textcolor{blue}{n}]{a}} \cdots④$



以下に計算例を載せておきます。

例)
$\underline{\bf{①の例}}$

$\begin{eqnarray}\sqrt[3]{2}×\sqrt[3]{4}&=&\sqrt[3]{2×4}\\\\&=&\sqrt[3]{2^3}\\\\&=&2\end{eqnarray}$



$\underline{\bf{②の例}}$

$\displaystyle{\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{12}{4}}=\sqrt[3]{3}}$



$\underline{\bf{③の例}}$

${(\sqrt[3]{5})}^{2}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$



$\underline{\bf{④の例}}$

$\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}=\sqrt[3×4]{2}=\sqrt[12]{2}}$

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3.有理数の指数

有理数の指数の意味は、次のようになっています。


$a\gt0$で、$\textcolor{red}{m}$ , $\textcolor{blue}{n}$を正の整数、$\textcolor{green}{r}$を正の有理数とすると

$\displaystyle{a^{\frac{1}{\textcolor{blue}{n}}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a}} \cdots①$

$\displaystyle{a^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}}={(\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a})}^{\textcolor{red}{m}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{a^{\textcolor{red}{m}}}} \cdots②$

$\displaystyle{a^{-\textcolor{green}{r}}=\frac{1}{a^{\textcolor{green}{r}}}} \cdots③$



計算例を載せておきます。

例)
$\underline{\bf{①の例}}$

$\displaystyle{2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}}$



$\underline{\bf{②の例}}$

$\displaystyle{2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}}$



$\underline{\bf{③の例}}$

$\displaystyle{3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

指数が有理数の場合にも、次の指数法則が成り立ちます。


$a\gt0$ , $b\gt0$で、$\textcolor{green}{r}$ , $\textcolor{#ffd700}{s}$を有理数とすると、

$a^{\textcolor{green}{r}}×a^{\textcolor{#ffd700}{s}}=a^{\textcolor{green}{r}+\textcolor{#ffd700}{s}} \cdots④$

$\displaystyle{\frac{a^{\textcolor{green}{r}}}{a^{\textcolor{#ffd700}{s}}}=a^{\textcolor{green}{r}-\textcolor{#ffd700}{s}}} \cdots⑤$

${(a^{\textcolor{green}{r}})}^{\textcolor{#ffd700}{s}}=a^{\textcolor{green}{r}\textcolor{#ffd700}{s}} \cdots⑥$

${(ab)}^{\textcolor{green}{r}}=a^{\textcolor{green}{r}}b^{\textcolor{green}{r}} \cdots⑦$



以下に計算例を載せておきます。

例)
$\underline{\bf{④の例}}$

$\displaystyle{\begin{eqnarray}3^{\frac{2}{3}}×3^{\frac{4}{3}}&=&3^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\\\\&=&3^{\frac{6}{3}}\\\\&=&3^2\\\\&=&9\end{eqnarray}}$



$\underline{\bf{⑤の例}}$

$\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5^{\frac{1}{4}}}&=&5^{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}\\\\&=&5^{\frac{2}{4}}\\\\&=&5^{\frac{1}{2}}\\\\&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}}$



$\underline{\bf{⑥の例}}$

$\begin{eqnarray}{(2^2)}^{3}&=&2^{2×3}\\\\&=&2^6\\\\&=&64\end{eqnarray}$



$\underline{\bf{⑦の例}}$

$\begin{eqnarray}{(3×2)}^{2}&=&3^2×2^2\\\\&=&9×4\\\\&=&36\end{eqnarray}$

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4.指数関数

$a$を$1$とは異なる正の実数とするとき、$y=a^x$は$x$の関数となります。
この関数を、$\textcolor{red}{a}$$\textcolor{red}{\bf{を底とする}}$$\textcolor{red}{x}$$\textcolor{red}{\bf{の指数関数}}$といいます。

一般に、$y=a^x$のグラフの概形は次のようになります。

以下に、実際にどのような概形のグラフになるかの例を載せておきます。
(グラフの実際の数値と縮尺はずれていますが、概形は以下のようになります)



例)

指数関数$y=a^x$の特徴は以下のようになります。


1. 定義域($x$のとりうる値)は実数全体で、値域($y$のとりうる値)は正の数全体。



2. $a\gt0$のとき、$x$の値が増加すると、$y$の値も増加する

$r{\lt}s{\Leftrightarrow}a^r{\lt}a^s$



3. $0{\lt}a{\lt}1$のとき、$x$の値が増加すると、$y$の値は減少する

$r{\lt}s{\Leftrightarrow}a^r{\gt}a^s$

$x$の値が増加すると、$y$の値も増加する関数を$\textcolor{red}{\bf{増加関数}}$といいます。

$x$の値が増加すると、$y$の値は減少する関数を$\textcolor{blue}{\bf{減少関数}}$といいます。

指数関数については、以上となります。
次回は、対数関数についての内容を予定していますので、よろしくお願いします。

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