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【高校物理】三角関数②/三角関数のグラフ【高校数学】【三角関数】
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三角関数のグラフは、角度\(θ\)の変化とともに、\(\sin\theta\)や\(\cos\theta\)の値がどのように変化するのかを表したものになります。
この記事で考えるグラフには、
\(y=\sin\theta\)
\(y=\cos\theta\)
\(y=\tan\theta\)
などがあります。
今回は、これらの三角関数のグラフについて解説していきます。
三角関数に関する記事は、こちらも参考にしてください。
→三角関数の定義と関係式
→三角関数の公式
→練習問題1(定義とグラフ)
→練習問題2(三角方程式と公式)
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目次
1.三角関数のグラフの概形
三角関数のグラフはどのように描かれているのかは今後説明していきますが、まずはそれぞれのグラフの概形を把握しておくのがよいと思います。
以下に、それぞれのグラフの概形を載せておきます。
これらのグラフの形が基本となるので、覚えておくとよいでしょう。
マイナス型のグラフを考えるときは、プラスのグラフを\(θ\)軸に関して対称にしたものだと考えると、プラス型のグラフを覚えるだけで良いと思います。
2.三角関数のグラフ
2-1.\(y=\sin\theta\)のグラフ
単位円上の点P\((a,b)\)を考えます。
今、\(y=\sin\theta\)のグラフを考えたいので、点Pの(y)座標の動きを考えます。
点Pの\(y\)座標は\(\sin\theta\)なので、
\(b=\sin\theta\)
となります。
この\(b\)の値を\(y\)として、
\(y=b=\sin\theta\)、すなわち\(y=\sin\theta\)に関して、角度\(\theta\)を動かしていった際に\(\sin\theta\)がどのような値をとっていくかをグラフに反映していきます。
以下に、角度\(\theta\)と\(\sin\theta\)の関係表とそれをプロットした際のグラフを載せます。
この表における\(\theta\)と\(\sin\theta\)の関係を、プロットしたものが以下のグラフになります。
また、\(\sin\theta\)は周期が\(2\pi\)なので、この形が\(2\pi\)毎に繰り返されます。
(周期の話についてはこちらも参考にしてください→三角関数の定義と関係式)
2-2.\(y=\cos\theta\)のグラフ
こちらも\(y=\sin\theta\)のグラフと同様に、角度\(\theta\)と\(\cos\theta\)の関係を考えプロットしていきます。
\(y=\sin\theta\)のグラフを考えた時と同様に、 単位円上の点P\((a,b)\)を考えます。
点Pの\(x\)座標は\(\cos\theta\)なので、
\(a=\cos\theta\)
となります。
グラフにプロットする際には、\(y\)軸が\(\cos\theta\)の値となるので、
\(y=a=\cos\theta\)
の角度\(\theta\)と\(\cos\theta\)の関係を考え、\(\cos\theta\)の値を\(y\)座標としてプロットしていきます。
単位円で考えると、\(\cos\theta\)は単位円上の点の\(x\)座標となってしまうので、単位円は\(90^{\circ}\)回転させて考えます。
以下に、\(\sin\theta\)の時と同様に角度\(\theta\)と\(\cos\theta\)の関係表とそれをプロットした際のグラフを載せます。
\(y=\cos\theta\)のグラフも\(y=\sin\theta\)のグラフと同様に、周期が\(2\pi\)なので、この形が\(2\pi\)毎に繰り返されます。
2-3.\(y=\tan\theta\)のグラフ
\(y=\tan\theta\)のグラフは、単位円で考えた際にはその原点と単位円上の点Pを結んだ延長線と\(x=1\)との交点の\(y\)座標になります。
(こちらも参考に→三角関数の定義と関係式)
なので、この\(x=1\)の交点と、角度\(\theta\)との関係を\(y-\theta\)座標にプロットしたものが\(y=\tan\theta\)のグラフとなります。
以下に、角度\(\theta\)と\(\tan\theta\)の関係表とそれをプロットした際のグラフを載せます。
\(y=\tan\theta\)のグラフは周期が\(\pi\)なので、この形が\(\pi\)毎に繰り返されます。
三角関数のグラフの基本的な部分については以上になりますが、記載した角度\(\theta\)とそれぞれの三角関数の値の表と、グラフにプロットした際の\(y-\theta\)座標での対応をそれぞれ確認してみてください。
3.様々な三角関数のグラフ
3-1.グラフの平行移動
\(\bf{\underline{y=\sin(\theta-\alpha)のようなグラフについて}}\)
上記三角関数のグラフは、\(y=\sin\theta\)のグラフを\(\theta\)軸方向に\(+\alpha\)平行移動したものとなります。
考え方としては、\(y=2(x-3)\)のグラフが\(y=2x\)のグラフを\(x\)軸方向へ\(+3\)だけ平行移動したものと同様になります。
例として、\(y=\sin(\theta-\frac{\pi}{2})\)のグラフを考えてみます。
この\(y=\sin(\theta-\frac{\pi}{2})\)のグラフは、\(y=\sin\theta\)のグラフを\(\theta\)軸方向に\(+\frac{\pi}{2}\)だけ平行移動したものになります。
角度\(\theta\)と、\((\theta-\frac{\pi}{2})\)、そのときの\(\sin(\theta-\frac{\pi}{2})\)の値を考えて表にしたものを以下に載せます。
これをグラフにプロットすると以下のようになります。
\(\sin\theta\)のグラフと\(\sin(\theta-\frac{\pi}{2})\)のグラフを一緒に載せてみます。
これを見ると、\(\sin(\theta-\frac{\pi}{2})\)は\(\sin\theta\)のグラフを\(\theta\)軸方向に\(+\frac{\pi}{2}\)だけ平行移動させたものであることが分かりやすいと思います。
同様にして、
\(y=\cos(\theta-\alpha)\)は\(y=\cos\theta\)のグラフを\(\theta\)軸方向に\(+\alpha\)だけ平行移動したもの
\(y=\tan(\theta-\alpha)\)は\(y=\tan\theta\)のグラフを\(\theta\)軸方向に\(+\alpha\)だけ平行移動したもの
となります。
また、\(y=\sin\theta+b\)などのグラフは、\(y=\sin\theta\)のグラフを\(y\)軸方向へ\(+b\)だけ平行移動したものになります。
この\(y\)軸方向への平行移動も、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&(y-b)=2x\\{\Leftrightarrow}&&y=2x+b\end{eqnarray}}\)
などのグラフと同様の考え方で平行移動したものです。
以上から、
\(y=\sin(\theta-\alpha)+b\)
\(y=\cos(\theta-\alpha)+b\)
\(y=\tan(\theta-\alpha)+b\)
のグラフは、\(y=\sin\theta\), \(y=\cos\theta\), \(y=\tan\theta\)のグラフをそれぞれ\(\theta\)軸方向へ\(+\alpha\)、\(y\)軸方向へ\(+b\)だけ平行移動させたグラフとなります。
3-2.y軸方向への拡大・縮小
\(\bf{\underline{y=A\sin\thetaのようなグラフについて}}\)
このグラフは、\(A×\sin\theta\)なので、\(\sin\theta\)の値が\(A\)倍されます。すなわち、\(y=\sin\theta\)のグラフを\(y\)軸方向へ\(A\)倍に拡大(縮小)したものとなります。
例)\(y=2\sin\theta\)
\(\sin\theta\)の値は、単位円(半径が1の円)上の点\(P\)の\(y\)座標なので、とりうる値は\(-1\leq{\sin}\theta\leq1\)となりますが、\(2\sin\theta\)の値はそれぞれ\(2\)倍となるので、\(-2\leq2\sin\theta\leq2\)となります。
以下に\(y=\sin\theta\)のグラフと\(y=2\sin\theta\)のグラフを重ねたものを載せておきます。
同様にして、
\(y=A\cos\theta\)
\(y=A\tan\theta\)
のグラフも、\(y=\cos\theta\), \(y=\tan\theta\)のグラフをそれぞれ\(y\)軸方向へ\(A\)倍だけ拡大(縮小)したものになります。
以上から、
\(y=A\sin\theta\)
\(y=A\cos\theta\)
\(y=A\tan\theta\)
のグラフは、\(y=\sin\theta\), \(y=\cos\theta\), \(y=\tan\theta\)のグラフをそれぞれ\(y\)軸方向へ\(A\)倍だけ拡大(縮小)したものとなります。
3-3.θ軸方向への拡大(縮小)
\(\bf{\underline{y={\sin}k\thetaのようなグラフについて}}\)
周期についてみてみると、角度\(\theta\)と\(k\theta\)の関係を考えて表を作っても良いですが、\(y={\sin}k\theta\)のグラフを変形して
\(\displaystyle{y={\sin}k\theta=\sin\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{k}}\theta}\)
となり、\(2\pi\theta\)の分母が周期となるので、周期は\(\frac{2\pi}{k}\)と、\(2\pi\)の\(\frac{1}{k}\)倍となります。
(周期の話についてはこちらも参考にしてください→三角関数の定義と関係式)
以上から、\(y={\sin}k\theta\)のグラフは、\(\theta\)軸方向に\(\frac{1}{k}\)拡大された(\(k\)だけ縮小された)グラフになります。
例)\(y=\sin2\theta\)のグラフ
周期について考えてみると、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y&=&\sin2\theta\\&=&\sin\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{2}}\theta\\&=&\sin\frac{2\pi}{\pi}\theta\end{eqnarray}}\)
から、\(2\pi\theta\)の分母が周期となるので、この場合の周期は\(\pi\)となります。
以下に、\(y={\sin}2\theta\)のグラフと、\(y=\sin\theta\)のグラフを重ねたものを載せます。
以上から、
\(y={\sin}k\theta\)
\(y={\cos}k\theta\)
\(y={\tan}k\theta\)
のグラフは、\(y=\sin\theta\), \(y=\cos\theta\), \(y=\tan\theta\)のグラフをそれぞれ\(\theta\)軸方向へ\(\frac{1}{k}\)倍だけ拡大(\(k\)だけ縮小)したものとなります。
3-4.グラフのまとめ
\(y=A\sin(k\theta-\alpha)\)のグラフについて考えます。
今までの平行移動や、軸方向への拡大・縮小を一つずつ考えていけばどのようなグラフになるのかが分かります。
まず、式変形をします。
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y&=&A\sin(k\theta-\alpha)\\&=&A{\sin}k(\theta-\frac{\alpha}{k})\\&=&\textcolor{red}{A}{\sin}\frac{2\pi}{\textcolor{green}{\frac{2\pi}{k}}}(\theta-\textcolor{#ffd700}{\frac{\alpha}{k}})\end{eqnarray}}\)
この変形した式の意味を考えていきます。
基準のグラフを\(y=\sin\theta\)とすると
\((\theta-\textcolor{#ffd700}{\frac{\alpha}{k}})\)の部分について、\(y=\sin\theta\)のグラフを\(\theta\)軸方向へ\(\textcolor{#ffd700}{+\frac{\alpha}{k}}\)平行移動したものであることがわかります。
また、係数\(\textcolor{red}{A}\)がついているので、考えているグラフは\(y=\sin\theta\)のグラフを\(y\)軸方向へ\(\textcolor{red}{A}\)倍したものになります。
最後に、周期は\(2\pi\theta\)の分母なので、\(\textcolor{green}{\frac{2\pi}{k}}\)となり、\(\theta\)軸方向へ\(\frac{1}{k}\)倍したものであることが分かります。
以上から、\(y=A\sin(k\theta-\alpha)\)のグラフは、\(y=\sin\theta\)のグラフを
①\(\theta\)軸方向へ\(\textcolor{#ffd700}{+\frac{\alpha}{k}}\)だけ平行移動し、
②\(y\)軸方向に\(\textcolor{red}{A}\)倍、
③周期は\(\textcolor{green}{\frac{2\pi}{k}}\)なので\(\theta\)軸方向に\(\frac{1}{k}\)倍したものであることがわかります。
具体的なグラフの形については、練習問題の記事に載せようと思うので、そちらも参考にしていただけば幸いです。
このように、複雑な三角関数の式でも、
\(\textcolor{red}{①y軸または\theta軸方向への平行移動}\)
\(\textcolor{red}{②y軸方向への拡大・縮小}\)
\(\textcolor{red}{③\theta軸方向への拡大・縮小}\)
が把握できれば、理解し描くことができます。
今回は以上になります。
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