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【高校物理】ベクトル練習問題【高校数学】【ベクトル】【練習問題】
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こちらは、ベクトルに関する練習問題となります。
ベクトルに関する記事は、こちらも参考にしてください。
→ベクトルの演算と成分表示
→ベクトルの内積と外積
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目次
1-1.ベクトルの成分表示/問題
\mathbf{[問題1-1]}
次のベクトル\vec{r}を|\vec{r}|と\thetaを用いて成分表示せよ。(\vec{r}=(x成分 , y成分)の形で)
1-2.ベクトルの成分表示/解答
\mathbf{[問題1-1]の解答}
\vec{r}の終点からx軸に垂線を下してできる直角三角形に注目して考えます。
この直角三角形を下図のように、直角三角形OABとします。
この直角三角形OABにおいて、\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}と\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}を考えると、
\vec{r}=\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}
となります。
また、\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}はx軸に沿っており、\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}はy軸に沿っているので、\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}と\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}はそれぞれ、\vec{r}のx成分とy成分となります。
この\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}と\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}を|\vec{r}|と\thetaを用いて表します。
直角三角形OABにおいて三角関数を用いると、
\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}=|\vec{r}|\cos\theta
\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}=|\vec{r}|\sin\theta
となります。
(三角関数についてはこちらも参考にしてください→三角関数の定義と関係式)
上式において、\textcolor{red}{\overrightarrow{OA}}と\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}の大きさの情報は|\vec{r}|に、向きの情報はそれぞれ\cos\thetaと\sin\thetaに含まれます。
以上から、\vec{r}を成分表示すると、
\underline{\vec{r}=(|\vec{r}|\cos\theta , |\vec{r}|\sin\theta)}
となります。
2-1.内積/問題
\mathbf{[問題2-1]}
|\vec{a}|=2、|\vec{b}|=5、\vec{a}と\vec{b}のなす角\thetaが60^{\circ}のとき、内積\vec{a}・\vec{b}を求めよ。
2-2.内積/解答
\mathbf{[問題2-1]の解答}
一応、状況を図示しておきます。
内積の定義は、
\textcolor{red}{\vec{a}}・\textcolor{blue}{\vec{b}}=|\textcolor{red}{\vec{a}}||\textcolor{blue}{\vec{b}}|\cos\theta
なので、求める内積は
\displaystyle{\begin{eqnarray}\textcolor{red}{\vec{a}}・\textcolor{blue}{\vec{b}}&=&2×5×\cos60^{\circ}\\&=&2×5×\frac{1}{2}\\&=&\underline{5}\end{eqnarray}}
となります。
解答は上記のように\underline{5}となりますが、ここで成分表示でも考えてみます。
問題文の状況を座標平面上で考えると、下図のようになります
今回は、\textcolor{blue}{\vec{b}}をx軸に沿うように設定しましたが、始点が一致しており\textcolor{red}{\vec{a}}と\textcolor{blue}{\vec{b}}のなす角度が60^{\circ}であればどのように設定してもかまいません。
例えば、下図のように設定してもかまいません。
どのように設定してもかまいませんが、分かりやすく、計算しやすいように設定する方がよいでしょう。
本題に戻ります。
\textcolor{blue}{\vec{b}}をx軸に沿うような形で設定した座標平面において、\textcolor{red}{\vec{a}}と\textcolor{blue}{\vec{b}}を成分表示します。
\textcolor{red}{\vec{a}}は問題1-1と同様にして
\textcolor{red}{\vec{a}}のx成分:
\displaystyle{\begin{eqnarray}|\textcolor{red}{\vec{a}}|\cos60^{\circ}&=&2×\frac{1}{2}\\\\&=&1\end{eqnarray}}
\textcolor{red}{\vec{a}}のy成分:
\displaystyle{\begin{eqnarray}|\textcolor{red}{\vec{a}}|\sin60^{\circ}&=&2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\sqrt{3}\end{eqnarray}}
\textcolor{blue}{\vec{b}}については
\textcolor{blue}{\vec{b}}のx成分:
図から\textcolor{blue}{\vec{b}}=5
\textcolor{blue}{\vec{b}}のy成分:
図から0
よって、それぞれのベクトルを成分表示すると、
\textcolor{red}{\vec{a}}=(\textcolor{red}{1} , \textcolor{red}{\sqrt{3}})
\textcolor{blue}{\vec{b}}=(\textcolor{blue}{5} , \textcolor{blue}{0})
となります。
成分表示による内積の定義は、
\textcolor{red}{\vec{a}}=(\textcolor{red}{a_{1}} , \textcolor{red}{a_{2}})
\textcolor{blue}{\vec{b}}=(\textcolor{blue}{b_{1}} , \textcolor{blue}{b_{2}})
とすると、
\textcolor{red}{\vec{a}}・\textcolor{blue}{\vec{b}}=\textcolor{red}{a_{1}}\textcolor{blue}{b_{1}}+\textcolor{red}{a_{2}}\textcolor{blue}{b_{2}}
なので、内積は
\begin{eqnarray}\textcolor{red}{\vec{a}}・\textcolor{blue}{\vec{b}}&=&\textcolor{red}{1}\textcolor{blue}{5}+\textcolor{red}{\sqrt{3}}\textcolor{blue}{0}\\\\&=&5\end{eqnarray}
となります。
また、成分表示で考えることと同じですが、基本ベクトルを用いた形で考えることもできます。
それぞれのベクトルを基本成分を用いて表すと、
\begin{eqnarray}\textcolor{red}{\vec{a}}&=&\textcolor{red}{1}×\vec{e_{1}}+\textcolor{red}{\sqrt{3}}×\vec{e_{2}}\\\\&=&\vec{e_{1}}+\textcolor{red}{\sqrt{3}}\vec{e_{2}}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\textcolor{blue}{\vec{b}}&=&\textcolor{blue}{5}×\vec{e_{1}}+\textcolor{blue}{0}×\vec{e_{2}}\\\\&=&\textcolor{blue}{5}\vec{e_{1}}\end{eqnarray}
基本ベクトルについては、
\vec{e_{1}}←x軸の正方向の向きで大きさ1のベクトル
\vec{e_{2}}←y軸の正方向の向きで大きさ1のベクトル
よって、\vec{e_{1}}と\vec{e_{2}}のなす角は90^{\circ}であり、
\begin{eqnarray}\vec{e_{1}}・\vec{e_{2}}&=&|\vec{e_{1}}||\vec{e_{2}}|\cos90^{\circ}\\\\&=&1×1×0\\\\&=&0\end{eqnarray}
となります。
以上のことをふまえて、基本ベクトルを用いた形で外積を計算すると、
\begin{eqnarray}\textcolor{red}{\vec{a}}・\textcolor{blue}{\vec{b}}&=&(\vec{e_{1}}+\textcolor{red}{\sqrt{3}}\vec{e_{2}})・(\textcolor{blue}{5}\vec{e_{1}})\\\\&=&\textcolor{blue}{5}{|\vec{e_{1}}|}^2+\textcolor{blue}{5}\textcolor{red}{\sqrt{3}}\vec{e_{1}}・\vec{e_{2}}\\\\&=&\textcolor{blue}{5}×1^2+\textcolor{blue}{5}\textcolor{red}{\sqrt{3}}×0\\\\&=&5\end{eqnarray}
となります。
3-1.外積/問題
\mathbf{[問題3-1]}
下図において\textcolor{red}{|\vec{a}|=3}、\textcolor{blue}{|\vec{b}|=2}、\theta=30^{\circ}とする。
このとき、外積\textcolor{red}{\vec{a}}×\textcolor{blue}{\vec{b}}の大きさ|\textcolor{red}{\vec{a}}×\textcolor{blue}{\vec{b}}|を求め、その向きを図示せよ。
3-2.外積/解答
\mathbf{[問題3-1]の解答}
外積について、大きさは2つのベクトルのなす平行四辺形の面積であり、向きは\textcolor{red}{\vec{a}}と\textcolor{blue}{\vec{b}}のなす平面に直行し、\textcolor{red}{\vec{a}}→\textcolor{blue}{\vec{b}}に右ねじを回すと進む向きとなります。
上記の事柄から、大きさは下図の平行四辺形の面積\textcolor{#ffd700}{S}になります。
この面積\textcolor{#ffd700}{S}は、
\displaystyle{\begin{eqnarray}\textcolor{#ffd700}{S}&=&|\textcolor{red}{\vec{a}}||\textcolor{blue}{\vec{b}}|\sin\theta\\&=&\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}×\sin30^{\circ}\\&=&\textcolor{red}{3}×\textcolor{blue}{2}×\frac{1}{2}\\&=&3\end{eqnarray}}
よって、\underline{外積の大きさ|\textcolor{red}{\vec{a}}×\textcolor{blue}{\vec{b}}|は3}
次に外積の向きですが、\textcolor{red}{\vec{a}}→\textcolor{blue}{\vec{b}}に右ねじを回したときに進む方向なので、図示すると以下のようになります。
ベクトルの練習問題は以上となります。
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